基于FPGA技术的Logistic映射PN序列

1 Logistic映射

Logistic方程如下：


式中：Xn∈(0，1)；μ∈(0，4)，当μ取值[3.571 448，4]时，Logistic映射进入混沌态，并表现出复杂的动力学特性。在此取μ=4，令Xn的初值X0=0.312 5，则Xn的时问序列和吸引子相图如图1所示。

2 Logistic映射的电路设计及时间序列的量化

DSP Builder将Matlab和Simulink系统级设计工具的算法开发、仿真和验证功能与VHDL综合、仿真和开发工具整合在一起，实现了这些工具的集成，将系统级设计的实现与DSP算法的开发相链接，涵盖了算法和存储功能等基本操作。可利用DSP Builder模块迅速生成算法硬件电路，并转成VHDL语言，大大缩短了FPGA的设计周期。图2为Logistic的DSP Builder电路实现模型。


图2中为消除毛刺，在各输出端加入了一个延时器。其中，xout为Xn+1的时间序列；yout为其延时一个时钟周期后的输出，即Xn。xout与yout都是以二进制数表示的一系列小数(Xn∈(0，1))，可表示为：



因为时间序列Xn的数值是用二进制数表示的，随着迭代的不断进行，Xn将随之变化，此时其二进制表示中的某一位(0或1)也随之变化。因此可以提取Xn时间序列中某一位二进制位作为量化值，当Xn的时间序列值随时间变化时即生成一PN序列。图2中的XoutBit为PN序列的输出端，它取自Xn二进制数表示中的第9位。后面的分析表明，这种量化方法同样具有很好的混沌性能和随机性。

为了验证图2电路模块的正确性，对Logistic的模块电路进行仿真，其时间序列和吸引子如图3所示。比较图3和图1发现，利用DSP Builder设计的电路有效地实现了Logistic映射的功能。

3基于FPGA的PN序列实现

图2中，xout与yout具有相同的k及l值，k=1，l=9，即k+l=10。因为所使用的FPGA开发板自带THS5651DA转换器接受的是10引脚数据，k+l=10可实现匹配。尽管xout在最后输出前转成了10位长度，但在整个内部运算环节，是50位长度的，有限字长明显大于10，这样可以最大限度地保持精度，减少有限字长效应带来的误差，有效实现混沌的非周期特性。

理论上混沌序列是非周期的，但因为在使用有限字长表示混沌状态的情况下，加上运算结果的近似化，混沌序列最终会演化为一个周期序列。但是可以通过加长有限字长来延长周期。从实用的角度看，只要设计得好，映射和分叉参数选择合适，所产生的序列周期将足够长，序列的相关特性将足够好，可用的序列数量将足够多，可认为位转换就已够用，因为通信的时间不可能无限长。研究还发现，混沌映射产生的有限字长周期序列具有正的最大Lyapunov指数。

将图2所示的图形化模块通过“Signal Compiler”直接转化为硬件描述语言，再利用QuartusⅡ进行编译，其仿真时序图见图4。其中，Output为抽取的混沌数字PN序列，即图2中的XoutBit；Output1和Output2分别为Xn+1和Xn。


把工程文件在CycloneⅡ的EP2C35F484C8进行编译和引脚分配并下载到该芯片进行硬件实验，从数字示波器上观察到的PN序列如图5(a)所示。为了验证硬件实现的精度，通过THS5651芯片对得到的混沌数字信号进行D／A转化，再通过示波器观察其时间序列和吸引子，如图5(b)，图5(c)所示。

4 PN序列随机性分析

为了对硬件输出的PN序列进行性能测试，首先通过一个串口通信模块电路对FPGA输出的数字PN序列进行采样，然后利用计算机对其进行随机性能分析。

这里采用的FPGA开发板其内核为CycloneⅡ的EP2C35F484C8，外围电路提供了USB口、并行I／O以及串口等一系列可供用户选择的端口。抽取Xn二进制表示的小数部分的第9位作为比特序列，并通过串口来实时获得该位在一定时间段t内的所有值，其串口通信
模块电路如图6所示。


为了确保计算机在接收该序列时不出现比特丢失现象，可预先向计算机发送一组周期序列来保证数据的可靠性。假设串口传输波特率为9 600，系统晶振为20 MHz，为了得到整数倍的分频，可根据公式：

n=(20×106×k)／9 600

令k=3，则可得出n为6.250。其中，比例因子k可通过锁相环来获得。上述两步骤可通过在QuartusⅡ中添加锁相环代码与分频器代码实现。此时，让系统时钟T=1／9 600再经过二分频后通过串口输出，如果在接收端收到“01010”的周期序列，则表明FPGA与计算机之间的通信无问题。

5 PN序列随机性能分析

5.1频率测试(Frequency Test)

该测试可用来判断序列当中0和1的个数是否近似相等，若近似相等，则符合随机序列的必要条件。令n0，n1分别代表0与1的个数；n代表序列s的长度。该统计方程为：


若n≥10，则T1近似符合1维自由度的x2分布。

对采集到的PN序列进行自由度为1的x2检验，取显著性水平α=0.05，可以从标准表中查到显著性水平α=0.05的x2值为3.84。如果T1值小于3.84，则该序列通过测试。n0，n1和T1的测试值如表1所示，由此可知，该序列的T1值远小于3.84，通过测试。


串列测试(Serial Test)

该测试可用来判断序列中00，01，10，11子序列的个数是否近似相等。若近似相等，则符合随机序列的必要条件。令n0，n1分别代表0与1的个数，而n00，n01，n10，n11分别代表s序列中00，01，10，11的个数。由于n00+n01+n0+n11=n-1，该统计方程为：


若n≥21，则T2近似符合2维自由度的x2分布。对序列进行自由度为2的x2检验。显著性水平α置为0.05，查标准表得此时的x2值为5.99。测试结果如表2所示，T2=0.352 5<<5.99，通过测试。


Poker测试(Poker Test)

令m为符合(n／m)≥5×2m的正整数，并令k=n／m。将序列s分成k个不重复的部分，每部分的长度为m，令ni为第i个长度为m的序列标号，1≤i≤2m。Poker测试可用来确定ni在序列s中，长度为m的各个不同子序列出现的概率是否近似相等。该统计方程为：

式中：T3近似符合2m-1维自由度的x2分布。值得注意的是，频率测试其实是Poker测试的一个特例，令m=1，Poker测试即成为了频率测试。分别取m=1，2，3，4，5，6，对待测序列进行自由度为2m-1的x2检验，结果列于表3。由表3可见，对于不同m值的T3值均小于对应的x2值，通过测试。

5.4游程测试(Runs Test)

该测试的目的是为了判断s序列中不同长度的游程是否具有随机序列的游程特性。理论上，在一个长度为n随机序列中，长度为i的连续0或连续1的期望值为ei=(n-i+3)／2i+2。令k为当ei≥5时的最大的i；Bi，Gi分别为各个block和gap的个数。游程测试的统计方程为：


分别取i为1，2，3，4，5，6，7，8，9。对本序列，k值为9，所以可对T4进行自由度为16的x2检验。查标准表知自由度为16的x2值为26.3。将上述数值代入统计方程，运算得T4=19.883 1<26.3，通过测试。其测试结果如表4所示。

自相关测试(Autocorrelation Test)

6结语

利用Logistic混沌映射作为随机信号源，基于FPGA技术研究了PN序列的硬件产生。通过对产生的PN序列进行性能分析发现，其具有很好的随机性，可被应用于扩频通信和数字信息加密等领域。由于直接以离散混沌作为随机信号源，相对于将连续混沌离散化后再量化产生PN序列，其精确度更高。由于数字序列是通过抽取二进制数值中某一位产生的，只要迭代值的位数足够多，序列的可变性就更大，从而增大了密钥空间和通信的保密性。