天然肠衣(以下简称肠衣)制作加工是我国的一个传统产业,出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段(原料),进入组装工序。传统的生产方式依靠人工,边丈量原料长度边心算,将原材料按指定根数和总长度组装出成品(捆)。
原料按长度分档,通常以0.5米为一档,如:3-3.4米按3米计算,3.5米-3.9米按3.5米计算,其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格,长度单位为米,∞表示没有上限,但实际长度小于26米。
表1 成品规格表
最短长度
|
最大长度
|
根数
|
总长度
|
3
|
6.5
|
20
|
89
|
7
|
13.5
|
8
|
89
|
14
|
∞
|
5
|
89
|
为了提高生产效率,公司计划改变组装工艺,先丈量所有原料,建立一个原料表。表2为某批次原料描述。
表2 原料描述表
长度
|
3-3.4
|
3.5-3.9
|
4-4.4
|
4.5-4.9
|
5-5.4
|
5.5-5.9
|
6-6.4
|
6.5-6.9
|
根数
|
43
|
59
|
39
|
41
|
27
|
28
|
34
|
21
|
长度
|
7-7.4
|
7.5-7.9
|
8-8.4
|
8.5-8.9
|
9-9.4
|
9.5-9.9
|
10-10.4
|
10.5-10.9
|
根数
|
24
|
24
|
20
|
25
|
21
|
23
|
21
|
18
|
长度
|
11-11.4
|
11.5-11.9
|
12-12.4
|
12.5-12.9
|
13-13.4
|
13.5-13.9
|
14-14.4
|
14.5-14.9
|
根数
|
31
|
23
|
22
|
59
|
18
|
25
|
35
|
29
|
长度
|
15-15.4
|
15.5-15.9
|
16-16.4
|
16.5-16.9
|
17-17.4
|
17.5-17.9
|
18-18.4
|
18.5-18.9
|
根数
|
30
|
42
|
28
|
42
|
45
|
49
|
50
|
64
|
长度
|
19-19.4
|
19.5-19.9
|
20-20.4
|
20.5-20.9
|
21-21.4
|
21.5-21.9
|
22-22.4
|
22.5-22.9
|
根数
|
52
|
63
|
49
|
35
|
27
|
16
|
12
|
2
|
长度
|
23-23.4
|
23.5-23.9
|
24-24.4
|
24.5-24.9
|
25-25.4
|
25.5-25.9
|
|
|
根数
|
0
|
6
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
|
根据以上成品和原料描述,设计一个原料搭配方案,工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求:
(1) 对于给定的一批原料,装出的成品捆数越多越好;
(2) 对于成品捆数相同的方案,最短长度最长的成品越多,方案越好;
(3) 为提高原料使用率,总长度允许有± 0.5米的误差,总根数允许比标准少1根;
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余,可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎,成品属于7-13.5米的规格;
(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
请建立上述问题的数学模型,给出求解方法,并对表1、表2给出的实际数据进行求解,给出搭配方案。