25.1 FFT变换结果的物理意义
25.1.1 理论阐释
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍（要满足奈奎斯特采样定律）。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。 而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（
即0Hz），而最后一个点 N的再下一个点（
实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是：
相位就是：
根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
25.1.2 理论计算和Matlab实际计算结果对比
下面以一个实际的信号来做说明：
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
x = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何如下：
Ø
第一步：在matlab上新建.m文件，文件内容如下：
- Fs = 256; % 采样率
- N = 256; % 采样点数
- n = 0:N-1; % 采样序列
- t = 0:1/Fs:1-1/Fs; % 时间序列
- x = 2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180) ; %原始信号
- y = fft(x); %对原始信号做FFT变换
- M = abs(y); %求FFT转换结果的模值
- plot(n, M); %绘制FFT转换模值的曲线
复制代码
Ø第二步：运行后显示效果如下：
Ø
第三步：从matlab的工作区获得几个关键点及其附近两个点的幅值：
1点，2点，3点的数值如下：
50点，51点，52点的数值如下：
75点，76点，77点的数值如下：
按照上面说的公式，可以计算出：
直流分量为： 512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；
75Hz信号的幅度为：192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
Ø
第四步：计算相位
计算相位要获取FFT变换后相应频率点幅值的实部和虚部，这里看第一步代码中的y变量数值即可。
由于直流信号没有相位可言。这里主要看50Hz的相位和75Hz的相位。
1. 计算50Hz信号的相位。
y变量的第51点对应数值：332.553755053225 - 192.000000000000i
那么atan2(-192, 332.553)=-0.5236，这个结果是弧度，换算成角度180*(-0.5236)/pi=-30.0001。
这个结果与cos(2*pi*50*t-pi*30/180)中相位是相符的。
2. 计算75Hz信号的相位。
y变量的第76点对应数值：3.43858275186904e-12 + 192.000000000000i
那么atan2(192, 3.43858275186904e-12)=1.5708弧度，换算成角度180*1.5708/pi=90.0002。这个结果与cos(2*pi*75*t+pi*90/180)中的相位是相符的。
Ø
总结
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
总的来说，这个过程就是这样：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法大家可参考相关文献。
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