学习数字信号处理的诀窍：时域和频域的灵活切换
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四种傅里叶分析
学好数字信号处理的诀窍之三——时域和频域的灵活切换
下面首先阐述四种傅里叶分析的特点及意义，引入离散傅里叶变换的概念，然后阐述学好数字信号处理的第三个诀窍，即时域和频域的灵活切换。
一、四种傅里叶分析及离散傅里叶变换DFT的引入傅里叶分析是联系时域和频域的桥梁，在信号处理中具有非常重要的地位。傅里叶分析包含四种不同的形式，即连续时间傅里叶级数（CTFS， Continuous TimeFourier Series）、连续时间傅里叶变换（CTFT， ContinuousTime Fourier Transform）、离散时间傅里叶级数（DTFS， Discrete Time Fourier Series）和离散时间傅里叶变换（DTFT， Discrete Time FourierTransform）。这四种傅里叶分析的对象和得到的结果有一个特点：要么在时域是连续的（CFS），要么在频域是连续的（DTFT），或者在时域和频域都是连续的（CTFT）。DFS虽然在时域和频域都是离散的，但是在时域却是无限的。计算机不能直接处理连续的信号，只能处理采样之后的离散数据；计算机也不能处理无限长的信号，实际的信号长度都是有限长的。
傅里叶分析的上述四种形式只有理论意义，都不适合采用计算机处理。但是，将DTFS和DTFT结合起来，把有限长序列延拓为周期性离散信号，从而引入了离散傅里叶变换（DFT， Discrete Fourier Transform）的概念，本质上，DFT不包含新的理论，只是为了用计算机处理的方便而引入的一种工具，利用它计算离散采样信号的频率。将有限长序列进行周期延拓后，就能够计算其离散傅里叶级数，其系数即为未延拓序列的离散傅里叶变换（连续周期函数）在频率轴上的等间隔采样，这保证了其物理意义，并且是用计算机可以实现的。当序列的长度比较大时，直接计算DFT的系数是很复杂的，如果计算时间太长，对实时通信就没有意义，因而有必要引入快速算法，即快速傅里叶变换（FFT， Fast Fourier Transform）。将DFT运用于连续信号的频谱分析，将产生一系列问题，如频谱泄露、栅栏效应、分辨率等，这些概念在利用DFT进行频谱分析时需要特别注意。
二、学好数字信号处理的诀窍之三——时域和频域的灵活切换
前面阐述了学好数字信号处理的两个诀窍，即MATLAB的运用和复数与向量的运用，下面讲第三个诀窍，即信号在时域与频域的灵活切换。
信号有两个方面的性质，即时域和频域，这两个方面对于信号来说，正如一个硬币的正反两面，是须臾不能分离的。要学好数字信号处理，必须要在信号的时域和频域之间进行灵活的切换，这种切换的数学工具就是傅里叶分析（包括四种形式）。数学上有一个专门的分支，叫做傅里叶分析，数学家对傅里叶分析进行深入的研究，为工程师们指明了工程开发的方向，开拓了新的领域。
人是生活在时间和空间中的，但是人的很多感觉却是和频率相关的，比如人耳能欣赏美妙的音乐，能欣赏美妙的歌喉，因为好的音乐在频域上更完美，好的“天籁之音”在频域上更“纯净”。各种不同的乐器在频域上的区分是很明显的，因而有经验的音乐人只要一听某种音乐，就知道是什么乐器演奏的，人耳是亿万年进化的高度发达的“频谱分析仪”，能够对音乐进行精密地分析，再加上后天长期的训练，因而能分辨精微的频率变化。人能欣赏五彩缤纷的世界，能欣赏各种美术作品，因为眼睛也是亿万年进化的高度发达的“频谱分析仪”，能感受各种不同频率的光线。一个三岁小孩能很容易分辨父母的声音，这是因为小孩的听觉系统经历了几年听力“训练”的结果，而要让计算机分辨某两个特定的人，则要经历同样复杂的训练，要寻找各种时域和频域的特征参数，还要反复进行效果验证。人通过感知器官，可以迅速地地获得信号在频域的几乎所有信息，而用计算机对信号进行同样的处理，就要复杂得多，必须设计各种“算法”对信号进行分析。
信号在时域和频域需要经常来回转换，转换的桥梁是傅里叶分析，信号处理需要充分挖掘和利用信号在频域的物理性质，因而才成为一门独立的学科。信号处理需要先在时域观察信号的特征，再转换到频域观察其特征，在频域进行处理之后再转换到时域观察其特征，或者在时域和频域同时观察信号的特征。有时在时域杂乱无章的信号，在频域却隐藏了很多信息，反之亦然。有的在时域根本无法处理，必须转换到频域进行处理，之后再回到时域来感觉一下处理的结果。学习数字信号处理，需要充分理解信号和系统在频域的物理意义，并且根据需要在时域和频域来回切换，这是学习信号处理的基本思维，而不要将信号在时域和频域孤立起来。 下面举一个简单的例子，说明在一个域中是杂乱的信号，经过适当的处理后在另一个域中就会发现其中的规律性。比如，下面图中的信号是时域的，看起来杂乱无章，没有任何规律。
但是，对信号进行功率谱分析 （功率谱指平稳的功率信号的功率在频率域的分布情况，功率信号指功率有限的信号），可以明显看出有两个谱峰，一个在大约30赫兹处，一个在大约70赫兹处，说明这个信号里面含有两个周期信号，只是这两个周期信号隐藏在类似噪声的信号中，在时域是看不到这两个周期信号的。
上面所说的平稳的功率信号，“平稳”一词在信号分析中有很严格的定义，平稳包括严平稳和宽平稳，有兴趣的同学可以继续学习我主讲的《随机信号分析》，它是《数字信号处理》的后续课，后者分析确定信号，前者分析具有随机性的信号。随机信号的分析要引进很多新的概念，如期望、方差、自相关函数、宽平稳、功率谱、各态历经等。
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