阵列天线方向图乘积原理简析
光的双缝干涉实验
光也是电磁波，符合空间电磁场矢量叠加原理。
光的双缝干涉会形成明暗相间的条纹（图片来自网上）：
光源在a处，光线射到尺寸相同的缝隙b和c时，就发出来频率、幅度、相位都相同的两束光，这两束光是相干光源。
1、如果上图S1、S2、F都是平行的，且abc是等腰三角形，那么从b和c发出来的两束相干光到达屏幕F的正中心（对称轴）位置的路径差为0，两个光源等幅度同相叠加，会形成亮斑；
2、如果偏离对称轴一个角度，b和c发出来的光到达屏幕F，两个光源的路径差达到半波长，则会等幅度反相抵消形成暗斑；
3、再偏离一个角度，b和c发出来的光到达屏幕F，两个光源的路径差可能达到一个波长，则又会等幅度同相叠加形成亮斑；
……
依次循环下去，于是在屏幕F上形成明暗相间的条纹。
这与阵列天线的增益概念是一样的：最亮的亮斑亮了多少，相当于是天线增益的增加值。
可见光的波长在390~780nm之间，挡板S2上刻出的两条互相接近的缝隙，其间距必定远大于可见光波长，所以上图双缝干涉实验形成方向图的增益增加值达到了3dB。
方向图相乘原理
如下图所示N个振子排列呈竖直的直线，相邻振子之间为等间距d，每个振子与第1个振子之间的距离分别为d0~dN-1。
θ表示倾角方向。
设第n个振子上的激励电流为In ，每个振子均在远场形成一平面波，场强与激励电流呈正比，则第n个振子在远场观察点A(r,θ)处产生的电场可以表示为：
f(θ)表示单个振子在空间不同方向上产生的归一化电场值，是单振子方向图；
a表示与振子形式有关的比例系数；
k= 2π/λ，表示波数，其中λ表示信号的波长。由于各振子空间位置不同，故在远场观察方向上产生的路径差也是不同的。在上图中标出了蓝色字体d1*sinθ，表示第2个振子与第1个振子之间在θ方向的路径差。
路径差则引起相位差，以第1个振子为参考点，从上式中可以看出其相对相位为：
根据矢量叠加原理，可得A(r,θ)处的电场值：
上式中4πr有点像球面积公式，r上少了个平方符号，这是因为所求的是电场，而不是功率（功率与r的平方呈反比）；
e-jkr表示电磁波相位在空间距离上随着r的变化而变化；
ejkdn*sinθ表示每个振子与第1个振子之间的路径相位差；
在上式中，定义函数F(θ)为：
F(θ)就是阵列方向图函数，方向图是一个归一化的无量纲值，可以将前面公式中的所有常数都忽略掉。再令：
B(θ)表示阵列因子，与振子的辐射特征无关；F(θ)就可以写成下式：
因为f(θ)表示单振子方向图，B(θ)表示阵列因子（与振子方向图无关）。
上式表示阵列方向图是单振子方向图f(θ)与阵列因子B(θ)之积，这就是方向图乘积原理。
方向图乘积原理有个前提：每个振子的方向图f(θ)都是一致的。
上面推导公式的例子是一维的直线阵列，方向图乘积原理也很容易扩展到二维的平面阵列，在二维平面阵列中，每个振子的方向图用f(θ,φ)表示。
方向图乘积原理常用于直线阵列、平面阵列，
方向图乘积原理不能直接用于曲面阵列（例如圆柱阵列），
因为每个振子的f(θ,φ)都是不同的，都随着振子在圆柱上的位置而旋转一个角度。
总结
光的双缝干涉实验，可视化地揭示了阵列天线方向图乘积原理；
方向图乘积原理有个前提：每个振子的方向图f(θ)都是一致的。
方向图乘积原理适用于二维的平面阵列，在二维平面阵列中，每个振子的方向图用f(θ,φ)表示。
方向图乘积原理不能直接用于曲面阵列。
审核编辑：刘清
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原文标题：050_阵列天线方向图乘积原理
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