晶振设计指南：皮尔斯振荡器的基础知识
前言
很多设计者都知道晶体振荡器都是基于皮尔斯振荡器，但不是所有人都知道具体是如何工作的，只有一部分人能掌握具体如何设计。 在实践中，对振荡器设计的关注有限，直到发现它不能正常运行(通常是在最终产品已经在生产时)，这会导致项目延迟。
振荡器必须在设计阶段，即在转向制造之前，得到适当的关注，以避免产品在应用中失败的噩梦场景。
本文介绍了皮尔斯振荡器的基础知识，并为其设计提供了指导方针。
1、石英晶体的特性及模型
石英晶体可以将电能转化为机械能的东西，也可以将机械能转化为电能。 这种转化主要发生在谐振频率上。 石英晶体的等效模型可以用Figure1来表示：
C0并联电容：两个电极间形成的电容。
Lm动态等效电感：代表机型振动的惯性。
Cm动态等效电容：代表晶振的弹性。
Rm动态等效电阻：代表电路的损耗。
晶振的阻抗表达式如下(假设Rm可以忽略不记)：
下图Figure 2说明了晶振的阻抗与频率的关系
其中Fs是当Z=0时的串联谐振频率，其表达式如下：
Fa是当电抗Z趋于无穷大时的并联谐振频率，假如Fs为已知量，那么其表达式如下：
fs和fa之间的区域(图2中的阴影区域)是并联谐振的区域。 在这一区域晶振工作在并联谐振状态，并且在此区域 晶振呈电感特性 ，从而带来了相当于180 °的相移。 具体谐振频率FP(可理解为晶振实际工作的频率)表达式如下：
根据这个方程，可以通过改变负载电容CL来调整晶体的振荡频率。 这就是为什么，在晶体规格书中，晶体制造商指出了使晶体在标称频率下振荡所需的确切CL。
下面Table2给出了一个8Mhz标称频率的等效晶体电路元件值的示例：
使用前面的3个公式，可以计算出Fs和Fa：
Fs=7988768Hz
Fa=8008102Hz
如果负载电容CL=10pF，则其振荡频率为：FP = 7995695Hz。 要使其达到准确的标称振荡频率8MHz，CL应该为4.02pF。
2、振荡器的原理
振荡器由一个放大器和反馈网络组成，反馈网络起到频率选择的作用。 Figure 3通过一个框图来说明振荡器的基本原理。
Figure 3 振荡器的基本原理
上图中：
A(f)是放大器部分，给这个闭环系统提供能量以保持其振荡。
B(f)是反馈网络，它决定了振荡器的频率。
为了起振，以下的巴克毫森准则必须得到满足。 即闭环增益应大于1，并且总相移为360°。
振荡需要初始能量才能启动。 通电瞬变和噪声可以提供所需的能量。 然而，能量需要足够高才能在所需的频率下触发振荡。
为了让振荡器稳定工作，实际A(f)*B(f)>>1，这意味着开环增益应该远远高于1。 振荡达到稳定状态所需的时间取决于开环增益。
仅仅满足振荡条件也不足以解释晶振为什么起振。 实际过程是，在这种条件下的放大器是非常不稳定的，任何干扰进入这种正反馈闭环系统都会使其不稳定并引发振荡启动。 干扰可能源于上电，晶振热噪声等。 同时必须注意到，只有在晶振的工作频率范围内的噪声才能被放大，这部分相对于噪声的全部能量来说只是很小一部分，这也就是为什么晶体振荡器需要很长时间才能启动的原因。
3、皮尔斯晶体振荡器
皮尔斯晶体振荡器有低功耗、低成本及良好的稳定性等特点，因此常见于应用中。
Inv：内部反相放大器。
Q：石英或陶瓷晶振。
RF：内部反馈电阻。
RExt：外部限流电阻，限制反相器输出电流。
CL1和CL2：两个外部负载电容。
Cs：寄生电容：PCB布线，OSC_IN和OSC_OUT管脚之间的效杂散电容
4、皮尔斯晶体振荡器设计
本节讲了不同的参数，以及如何确定它们的值，以便更好的进行皮尔斯振荡器的设计。
1、反馈电阻RF
在几乎所有的ST的MCU中，RF是内嵌在芯片内的。 它的作用是让反相器作为一个放大器来工作。
Vin和Vout之间增加的反馈电阻使放大器在Vout= Vin时产生偏置，迫使反向器工作在线性区域(图5中阴影区)。该放大器放大了晶振的正常工作区域内(Fs与Fa之间)的噪声(例如晶振的热噪声)，该噪声从而引发晶振起振。在某些情况下，起振后去掉反馈电阻RF，振荡器仍可以继续正常工作。
2、负载电容CL
负载电容CL是指连接到晶振上的终端电容。CL值取决于外部电容器CL1和CL2，杂散电容Cs。CL值由由晶振制造商给出。
振荡频率精度，主要取决于振荡电路的实际负载电容与晶振制造商给出的CL值是否相同。振荡频率是否稳定则主要取决于负载电容值是否保持稳定不变。
调整外部电容器CL1和CL2，使振荡电路实际的负载电容等于晶振制造商标定的负载值CL参数(晶振规格书一般会提供)，可以获得标定的振荡频率。
计算公式如下：
举个计算的示例：
如果晶振规格书手册中CL =15pF，并假定Cs = 5pF，则匹配电容CL1，CL2有：
3、振荡器的增益裕量
增益裕量是最重要的参数，它决定振荡器是否能够正常起振，其表达式如下：
其中：
a、gm是反相器的跨导(高频时单位是mA/V，低频时是μA/V，比如32Khz)。
b、gmcrit (gm critical)的值取决于晶体参数。
假定CL1 = CL2，并假定电路实际的CL与制造商给定的CL值相同，则gmcrit表达式如下(其中ESR是指晶振的等效串联电阻)：
根据Eric Vittoz理论：晶体等效电路的阻抗由放大器和两个外部电容的阻抗来补偿。
为了满足这个理论，gm必须满足gm>gmcrit, 在这种情况下才满足起振的振荡条件。为保证可靠的起振，增益裕量gainmargin的最小值一般设为5。
举个例子，设计一个微控制器的振荡器部分，其gm等于25mA/V。如果所选择的石英晶振的参数如下：
频率 = 8MHz，C0 = 7pF，CL = 10pF，ESR = 80 Ω。那么该晶体能否与微控制器配合起振?
计算gmcrit：
进一步计算增益裕量：
此增益裕量远大于起振条件，即gainmargin>5，晶振将正常起振。
如果不能满足增益裕量起振条件(即增益裕量gainmargin小于5)，晶振无法正常起振，应尝试选择一种ESR较低，CL较低的晶振。
4、驱动功率DL和外部串阻Rext计算
驱动功率DL和串联电阻Rext这两个参数是相互联系的，这也就是为什么在同一节中描述此二者的原因。
a、驱动功率DL的计算
驱动功率描述了晶振的功耗。晶振的功耗必须受到限制，否则石英晶体可能会由于过度的机械振动而导致不能正常工作。通常由晶振制造商给出晶振驱动功率的最大值，单位通常是毫瓦。超过这个值时，晶振可能就会损坏。
晶振的驱动功率DL满足下面公式：
其中：
ESR：是指晶振的等效串联电阻(其值由晶振制造商提供的晶振规格书手册给出)：
IQ：是流过晶振电流的有效值，使用示波器可观测到其波形为正弦波。电流值可使用峰-峰值(IPP)。当使用电流探头时(如Figure6)，示波器的量程比例可能需要设置为1mA/1mV。
如前面描述，当使用电位器调整电流值，可使流过晶振的电流不超过最大电流有效值IQmaxrms(假设流过晶振的电流波形为正弦波)。
最大电流有效值IQmaxrms表达式如下：
因此，流过晶振的电流峰峰值IPP(可从示波器读到)不应超过IQmaxPP，IQmaxPP表达式如下：
这也就是为什么需要外部电阻Rext的原因。当IQ超过IQmaxPP时，Rext是必需的，并且RExt要加入到ESR中去参与计算IQmax。
b、另外一个测量驱动功率DL的方法
驱动功率可以由下式计算得出：
其中IQrms是交流电流的有效值。
这个电流可以通过使用小电容(<1pF)示波器探头在放大器的输入端，测量电压变化得到。相对于流经CL1的电流，放大器的输入电流可以忽略不计，因此可以假定经过晶振的电流等于流经CL1的电流。这样，电压的有效值与电流的有效值有如下关系：
其中：
Vpp指的是测量的CL1两端电压的峰峰值。
Ctot = CL1 + (CS/2) + Cprobe
CL1：是放大器输入端的外部电容
CS：是寄生电容
Cprobe：是示波器探头的电容
这样，最终驱动功率DL可以由下式子得出：
DL的测量值一定不能超过由晶体厂家提供的手册中的DL数值。
c、外部串联电阻Rext的计算
这个电阻的作用是限制晶振的功率，并且它与CL2组成一个低通滤波器，以确保振荡器的起振点在基频上，而不是在其他高次谐波频率点上(避免3次，5次，7次谐波频率)。
如果晶振的功耗超过晶振制造商的给定值，外部电阻Rext是必需的，用以避免晶振被过分驱动。如果晶振的功耗小于晶振制造商的给定值，就不推荐使用Rext了，它的值可以是0Ω。
对Rext值的预估可以通过考虑由Rext和CL2构成了一个滤波器，通带宽度应不小于振荡器频率，当振荡频率正好等于滤波器截止频率时，有下面公式：
举例，当：
振荡器频率F = 8MHz
CL2 = 15pF
得到：Rext = 1326Ω
优化RExt值的方法推荐如下：
首先根据前面的介绍确定好CL1和CL2的值，其次使用电位器来代替Rext，Rext值可预设为CL2的阻抗，然后调整电位器的阻值直到它满足晶振驱动功率要求。
在计算完Rext值后要重新计算gainmargin的值(参考前面内容)以确保Rext值对起振条件没有影响。Rext值的值需要加入到ESR中参与gmcrit的计算，同时要保证gm >>gmcrit。
如果Rext值太小，晶振上可能会承担太多的功耗。如果Rext值太大，振荡器起振条件将得不到满足从而无法正常工作。
d、启动时间
启动时间是指振荡器启动并达到稳定所需的时间。石英晶体振荡器的启动时间要比陶瓷晶体振荡器的时间要长。
启动时间受外部CL1和CL2电容影响，同时它随着晶振频率的增加而减少。不同种类的晶振对启动时间影响也很大，石英晶振的启动时间比陶瓷晶振的启动时间长得多。
起振失败通常和gainmargin有关，过大或过小的CL1和CL2，以及过大的ESR值均可引起gainmargin不能满足起振条件。
频率为MHz级的晶振的启动时间是毫秒级的，而32kHz的晶振的启动时间一般要1～5秒。
e、晶体牵引度
晶振的牵引度是指工作在正常并联谐振区的晶振频率的变化率。这也用于衡量随负载电容变化而导致的频率变化，负载电容的减少会导致频率的增加，反之负载电容的增加会导致频率的减小。晶振的牵引度表达式如下：
晶振选型及外部器件的简易指南
本节给出了一个挑选合适的晶振及外部器件的简易指南，一共可分为3个主要步骤：
1、计算增益裕量gainmargin
首先选择一个晶振(根据MCU需求及晶振手册)
然后计算晶振的增益裕量(gainmargin)并检查其是否大于5：如果gainmargin < 5，说明这不是一个合适的晶振，应当换一个低ESR值或低CL值的晶振，知道满足大于5的条件。
2、计算外部负载电容
计算CL1和CL2的值(计算方法见前面章节)，并检查标定为该计算值的电容是否能在市场上获得。
如果能找到容值为计算值的电容，则晶振可以在期望的频率正常起振。
如果找不到容值为计算值的电容，在对频率的要求不是特别苛刻时，选择市场上能获得的电容中容值距计算值最近的电容，然后转到第三步。
3、驱动功率及Rext的计算
计算驱动功率DL并检查其是否大于晶振的DL参数要求DLcrystal：
如果DL < DLcrystal，没必要使用外部电阻，祝贺你，你找到了合适的晶振。
如果DL > DLcrystal，应该计算Rext使其确保DL< DLcrystal并据此重新计算Gainmargin。如果Gainmargin> 5，祝贺你，你找到了合适的晶振。如果Gainmargin< 5，需要再重新挑选另外一个晶振，然后重新回到第一步。
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