晶体投影与标准投影图讲解
晶体投影
晶体内的几何关系都是三维的，表示起来很不方便，是不同晶面晶向间的关系以及它们运动的轨迹很难用三维图表达清楚。所以，往往把它们转化为一种平面关系。最普遍使用的方法是极射赤面投影。
01极射投影
极射赤面投影方法如下图1所示。
图1 由球面投影转化为极射赤面投影
先过参考球球心作以平面，以它作为投影面，投影面和参考球相交的大圆称为基圆，又称为赤道平面。垂直于投影面并过球心的轴NS为投影轴。投影轴在参考球上的两个交点S和N诗参考球的南极和北极。处于上半球面上的极点（A、B迹点）和S相连，处于下半球面上的极点（迹点）和N相连，它们的连线和投影面的交点就是这个极点（迹点）的极射赤面投影点。
划重点！！极射投影有何规律呢？
1、与赤道面平行的晶面，它的极射投影点必在基圆中心；
2、垂直于赤道面的晶面，它们的极点的投影必在基圆的圆周上。
3、倾斜晶面的极点的极射投影必在基圆内，晶面法线与投影轴的夹角越小，则投影点距基圆中心越近；反之，就越趋向于基圆圆周。
02等面积投影
在EBSD软件中，取向数据还可以以等面积投影方式（equal area projection）表达。在等面积投影中，参考球上等面积区域在其投影中有相同的面积。这种投影的优点是真实地反映了密度分布，例如随机取向分布在等面积图上是均匀分布的（见下图2-b），而在极射赤面投影中反而不是均匀分布的，中心区域的密度高，见下图2-a。
图2 500个随机分布的晶粒某一晶面的极在极射赤面投影图(a)和等面积投影图中的分布(b)
在极射投影中，参考球上一点P经极射后在（放大的）赤道面上的投影点距中心原点的距离是2tan(α/2)，见下图3-a。而等面积投影对应的距离是2sin(α/2)，见下图3-b。
等面积投影与极射投影的比较
a-极射赤面投影；b-等面积投影；c-投影立体图
确定极射赤面投影图中的关系用吴氏（Wulff）网，而确定等面积投影图中的关系用施密特（Schmid）网，见下图4。
图4 Wulff网（a）和Schmid网（b）
极射投影放大了极图周边的信息，而等面积投影放大了极图中心区的信息。
等面积投影图的缺点是参考球上的圆环投影后不再是圆环，大环上的角关系也不再保角到投影图上。
在应用上，材料研究人员多用极射赤面投影图，地质研究者多用等面积投影图。两种投影图都可用来做极图。
03标准投影图
在实际应用中往往使用标准投影图（也称标准极图），它只是将一特定的晶面（常是低指数晶面）作为投影面而得到的极射赤面投影图。这样可一目了然地看出晶体中所有重要晶面的相对取向。
制作这种投影图时，一般选择某个低指数晶面（例如(000),(110),(111)等）作为投影面，将其他重要的晶面（重要晶面的数目视具体需要而定）的极点投影到这个面上。
如果所选的投影面是(hkl)，则此投影图就称作(hkl)标准投影图。
下图是立方系(001)标准投影图的制作过程及其标准投影图。
图5 立方系标准（001）投影
下面以这个立方系(001)标准投影图为例说明制作方法。
在此之前，可以滑动返回前面看看极射投影图的规律，更有助于理解哦~~
① 首先，确认基圆中心和基圆圆周：因为是(001)的标准投影图，所以，(001)极点在投影图基圆中心。(001)极点相对应的面痕是基圆圆周，因此[001]为晶带轴的晶带的极点都在基圆圆周上。
② 如果在圆周上任意确定一点为(100)，因(010)(100)垂直，所以从(100)极点在大圆周上逆时针数90°就得到(010)极点。
③ (110)和(-110)也属[001]晶带，计算它们与(100)和(010)的夹角，就可以定出极点位置：(110)与(100)和(010)的夹角均为45°，所以它的极点在基圆圆周(100)和(010)的极点中间位置；(-110)与(100)和(010)极点的夹角分别为135°和45°，它的极点在(010)极点沿大圆周逆时针转45°处。
④ 以[100]为晶带轴的晶带在投影图过(010)及圆心的直径上，(0-11)及(011)晶面属于此带轴。同样，计算它们与(001)及(010)的夹角就可以定出它们的极点的位置。
⑤ 以[010]为晶带轴的晶带位于投影面过(100)极点及圆心的直径上，(101)及(-101)晶面属于此带轴，同样，计算它们和(010)及(001)的夹角就可定出它们的极点位置。
⑥过(010)及(101)的大圆弧是[-101]晶带，而过(100)及(011)极点的大圆弧是[0-11]晶带，而(111)同属[-101]和[0-11]晶带，所以这两个大圆弧交点必是(111)极点。
⑦按照上面类似的办法可以一一定出各重要晶面的极点。
如何得到其他任一(hkl)面的标准极图？？
有了(001)标准极图，要得到其他任一(hkl)面的标准极图，只需将(001)极图中的(hkl)极点沿其与(001)点的连线（直线）转到投影中心原(001)点位置，其他所有的极点都绕垂直于原(001)与(hkl)点连线且过原点的法线轴沿相应的纬度线转同一角度得到。
下图6-c为（111）标准极图的获得。
图6 不同标准极图间的转换
审核编辑：汤梓红
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原文标题：基础知识21—晶体投影与标准投影图
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