自动控制系统的设计--控制器极点配置方法

前面介绍了利用根轨迹法和频率特性法对系统进行校正。事实上，如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而使系统的动态性能得到改善。这种方法称为极点配置法。

例6－12 有一控制系统如图6－38，其中，要求设计一个控制器，使系统稳定。

解：（1）校正前，闭环系统的极点：

> 0

因而控制系统不稳定。

（2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点：

显然，当，时，系统可以稳定。但此对参数c 的选择依赖于 a 、 b 。因而，可选择控制器， c 、 d ，则有特征方程：

当，时，系统稳定。

本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。

例6－13 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数：

要求设计一串联校正装置Gc(s) ，使校正后系统的静态速度误差系统，闭环主导极点在处。

解：首先，通过校正前系统的根轨迹可以发现，如图6－39所示，其主导极点为：

。

为使主导极点向左偏移，宜采用超前校正装置。

（2）令超前校正装置，可采用待定系数法确定相关参数：

又

其中、、、为待定系数。

进一步可得：

即

将 代入式子可以得到：，，，。进一步可得超前校正装置的传递函数：

校正后系统的根轨迹如图6-39所示。

该校正装置与例6－7中由超前装置获取的校正装置结果基本相同，说明结果是正确的。

在matlab中，亦有相应的命令可进行极点配置，主要有三个算法可实现极点配置算法：Bass-Gura算法、Ackermann算法和鲁棒极点配置算法。这些算法均以状态空间进行表征，通过设定期望极点位置，获取状态反馈矩阵K。下面通过示例介绍其中的一种算法。

例6－14 考虑给定的系统，其状态方程模型如下：

，

期望的闭环系统配置在，，，试设计其控制器。

解：可以使用下面的MATLAB语句来实现极点的配置：

A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0]; B=[0;1;0;-1];

eig(A)'

ans =

0 0 3.3166 -3.3166

P=[-1;-2;-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)];

K=place(A,B,P)

place: ndigits= 15

Warning: Pole locations are more than 10% in error.

K =

-0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000

eig(A-B*K)'

ans =

-1.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -2.0000 -1.0000

可以看出，原系统的极点位置为0、0、3.3166、-3.3166，即原系统是不稳定的，应用极点配置技术，可以将系统的闭环极点配置到某些期望的位置上，从而使得闭环系统得到稳定，并同时得到较好的动态特性。