红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树

算法与数据结构 2020-07-01 5707

描述

红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree）。以前也叫做平衡二叉 B 树（Symmetric Binary B-tree）。

预备知识

树的知识框架结构如下图所示：

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平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree），英文简称 BBST。经典常见的平衡二叉搜索树是 AVL 树和红黑树。

①二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree）是二叉树的一种，英文简称 BST。又称为二叉查找树、二叉排序树。

它的特点是任何一个结点的值都大于其左子树的所有结点的值，任何一个结点的值都小于其右子树的所有结点的值。

②平衡

平衡（Balance）：就是当结点数量固定时，左右子树的高度越接近，这棵二叉树越平衡（高度越低）。而最理想的平衡就是完全二叉树/满二叉树，高度最小的二叉树。

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一棵二叉搜索树平均时间复杂度可以认为是树的高度 O(h)。像左边这棵，结点的左右子树的高度接近，属于一棵平衡二叉搜索树，O(h) = O(logn)；而右边这棵，高度达到了最大，已经退化成了链表，O(h)=O(n)。

③改进二叉搜索树

当二叉树退化成链表时，性能是很低的，所以我们需要在结点的插入、删除操作之后，想办法让二叉搜索树恢复平衡（减小树的高度）。

但是如果为了追求最理想的平衡，而增加了时间复杂度也不是很有必要，因此比较合理的方案就是：用尽量少的调整次数达到适度平衡。

由此引申出 AVL 树的概念。

AVL 树

AVL 树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一，它取名自两位发明家的名字：G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。

平衡因子（Balance Factor）：某结点的左右子树的高度差。

每个叶子结点的平衡因子都是 0。看这棵二叉搜索树，红色数字标注了每个结点对应的平衡因子。

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举例：8 的左子树高度为 2，右子树高度为 1，因此它的平衡因子为 1；5 的左子树高度为 0，右子树高度为 3，因此它的平衡因子为 -3；4 的左子树高度为 2，右子树高度为 4，因此它的平衡因子为 -2；

再看这棵 AVL 树和它每个结点对应的平衡因子：

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可以看到 AVL 树具有以下特点：

每个结点的平衡因子只可能是 -1、0、1（如果绝对值超过 1，则认为是失衡）

每个结点的左右子树高度差不超过 1

搜索、插入、删除的时间复杂度是 O(logn)

B 树

B 树（Balanced Tree）是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现。

这是一个简单的 3 阶 B 树：

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特点如下：

1 个结点可以存储超过 2 个元素，可以拥有超过 2 个子结点

拥有二叉搜索树的一些性质

平衡，每个结点的所有子树高度一致

比较矮

①m 阶 B 树的性质（m ≥ 2）

m 阶 B 树指的是一个结点最多拥有 m 个子结点。假设一个结点存储的元素个数为 x，那么如果这个结点是：

根结点：1 ≤ x ≤ m - 1

非根结点：┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1

如果有子结点，子结点个数为 y = x + 1，那么如果这个结点是：

根结点：2 ≤ y ≤ m

非根结点：┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m

向上取整（Ceiling），指的是取比自己大的最小整数，用数学符号 ┌ ┐ 表示；向下取整（Floor），指的是取比自己小的最大整数，用数学符号 └ ┘ 表示。比如 m=3，子结点个数 2≤y≤3，这个 B 树可以称为（2，3）树、2-3 树。比如 m=4，子结点个数 2≤y≤4，这个 B 树可以称为（2，4）树、2-3-4 树。

比如 m=5，子结点个数 3≤y≤4，这个 B 树可以称为（3，5）树、3-4-5 树。

以此类推。

②B 树 VS 二叉搜索树

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这是一棵二叉搜索树，通过某些父子结点合并，恰好能与上面的 B 树对应。

我们可以得到结论：

B 树和二叉搜索树，在逻辑上是等价的

多代结点合并，可以获得一个超级结点，且 n 代合并的超级结点，最多拥有 (2^n) 个子结点（至少是 (2^n) 阶 B 树）

红黑树定义和性质

红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉搜索树。

为了保证平衡，红黑树必须满足以下性质：

每个结点是要么是红色或黑色

根结点必须是黑色

叶结点（外部结点、空结点）是黑色

红色结点不能连续（也就是，红色结点的孩子和父亲都是黑色）

对于每个结点，从该点至 nil（树尾端，Java 中为 null 的结点）的任何路径都包含所相同个数的黑色结点

红黑树与 B 树的等价变换

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根据上面的性质，可以画出这样一棵红黑树。接下来对红黑树做等价变换，即将所有的红色结点上升一层与它的父结点放在同一行，这就很像一棵 4 阶 B 树，转换效果如下图所示。

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可以得出结论：

红黑树与 4 阶 B 树（2-3-4树）具有等价性

黑色结点与红色子结点融合在一起，形成 1 个 B 树结点

红黑树的黑色结点个数与 4 阶 B 树的结点总个数相等

红黑树的基本操作

当我们对一棵平衡二叉搜索树进行插入、删除的时候，很可能会让这棵树变得失衡（最坏可能导致所有祖先结点失衡，但是父结点和非祖先结点都不可能失衡）。

为了达到平衡，需要对树进行旋转。而红黑树能够达到自平衡，靠的也就是左旋、右旋和变色。

旋转操作是局部的。当一侧子树的结点少了，向另一侧“借”一些结点；当一侧子树的结点多了，则“租”一些结点给另一侧。

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为了更清楚地讲解这部分内容，先声明几个概念：

N-node：当前结点

P-parent：父结点

S-sibling：兄弟结点

U-uncle：叔父结点（P 的兄弟结点）

G-grand：祖父结点（P 的父结点）

左旋

左旋指的是以某个结点作为支点（旋转结点），其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

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不考虑结点颜色，可以看到左旋只影响旋转结点和其右子树的结构，把右子树的结点往左子树移动。

右旋

右旋指的是以某个结点作为支点（旋转结点），其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

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不考虑结点颜色，可以看到右旋只影响旋转结点和其左子树的结构，把左子树的结点往右子树移动。

变色

变色指的是结点的颜色由红变黑或由黑变红。

变换规则

将左旋、右旋和变色结合起来，得到一套变换规则。

变色：如果当前结点的父结点和叔父结点是红色，那么：

把父结点和叔父结点变为黑色

把祖父结点变为红色

把指针定义到祖父结点

左旋：当前结点是右子树，且父结点是红色，叔父结点是黑色，对它的父结点左旋。

右旋：当前结点是左子树，且父结点是红色，叔父结点是黑色，那么：

把父结点变为黑色

把祖父结点变为红色

对祖父结点右旋

红黑树搜索

由于红黑树本来就是平衡二叉搜索树，并且搜索也不会破坏树的平衡，所以搜索算法也与平衡二叉搜索树一致：

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具体步骤如下：

从根结点开始检索，把根结点设置为当前结点。

若当前结点为空，返回 nil。

若当前结点不为空，比较当前结点 key 与搜索 key 的大小。

若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 就是搜索目标，返回当前结点。

若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 2。

若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 2。

红黑树插入

红黑树插入操作分为下面两步：

定位插入的位置

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具体步骤如下：

从根结点开始检索。

若根结点为空，那么插入结点设为根结点，结束。

若根结点不为空，那么把根结点设为当前结点。

若当前结点为 nil，返回当前结点的父结点，结束。

若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 所在结点就是插入结点，更新结点的值，结束。

若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 4。

若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 4。

插入后实现自平衡

建议新添加的结点默认为红色，因此这样能够让红黑树的性质尽快满足。不过如果添加的结点是根结点，设为黑色即可。

总结一下红黑树插入可能出现的所有场景：

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①场景 1：红黑树为空树

红黑树的性质 2：根结点必须是黑色。

处理：直接把插入结点设成黑色并作为根结点。

②场景 2：插入结点的 key 已存在

二叉搜索树中不能插入相同元素，既然结点的 key 已经存在，红黑树也已平衡，无需重复插入。处理：

将插入结点设为将要替换结点的颜色

更新当前结点的值为插入结点的值

③场景 3：插入结点的父结点为黑色

插入的结点默认是红色的，当它的父结点是黑色时，并不会破坏平衡。处理：直接插入。 ④场景 4：插入结点的父结点为红色

如果插入结点的父结点为红色，那么父结点不可能为根结点，所以插入结点总是存在祖父结点。这点很重要，后续的旋转操作需要祖父结点的参与。场景 4.1：存在叔父结点，且为红色

由红黑树性质 4 可知：红色结点不能连续。那么此时该插入子树的红黑层数的情况是：黑-红-红。显然最简单的处理方式就是将其改为：红-黑-红。

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处理：

将父结点和叔父结点变为黑色

将祖父结点变为红色

将祖父结点设置为当前插入结点

场景 4.2：叔父结点不存在或为黑色，插入结点的父结点是祖父结点的左子结点这种场景下，叔父结点所在的子树的黑色结点就比父结点所在子树的多，不满足红黑树的性质 5。

场景 4.2.1：插入结点是左子树

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处理：

将父结点变为黑色

将祖父结点变为红色

将祖父结点右旋

场景 4.2.2：插入结点是左子树

这种场景显然可以转换为 4.2.1。

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处理：

将父结点进行左旋

将父结点设为插入结点，得到场景 4.2.1

进行场景 4.2.1 的处理

场景 4.3：叔父结点不存在或为黑色，插入结点的父结点是祖父结点的右子结点相当于场景 4.2 的方向反转，直接看图。

场景 4.3.1：插入结点是左子树

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处理：

将父结点变为黑色

将祖父结点变为红色

对祖父结点进行左旋

场景 4.3.2：插入结点是右子树

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处理：

将父结点进行右旋

将父结点设置为插入结点，得到场景 4.3.1

进行场景 4.3.1 的处理

下面举个例子，往一棵红黑树中插入元素，整棵树的变换如下图所示：

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红黑树删除

红黑树删除操作也分为两步：

定位删除的位置

定位删除位置可以复用红黑树搜索的操作。

如果不存在目标结点，忽略本次操作；如果找到目标结点，删除后进行自平衡处理。

删除后实现自平衡

二叉搜索树删除的时候可能出现三种场景：

若删除结点无子结点，直接删除即可。

若删除结点只有一个子结点，用子结点替换删除结点。

若删除结点有两个子结点，用**后继结点（大于删除结点的最小结点）**替换删除结点。

具体应用，可以借助这张图理解：

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我们可以发现，另外两种二叉树的删除场景都可以通过相互转换变为场景一。在场景二情况下：删除结点用其唯一的子结点替换，子结点替换为删除结点后，可以认为删除的是子结点，若子结点又有两个子结点，那么相当于转换为场景三，一直自顶向下转换，总是能转换为场景一。

在场景三情况下：删除结点用后继结点，如果后继结点有右子结点，那么相当于转换为场景二，否则转为场景一。

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综上所述，删除的结点可以看作删除替换结点，且替换结点最后总是在树末。

下面总结一下红黑树删除可能出现的所有场景：

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为了方面理解，我们先约定一下结点的叫法：

R：替换结点

P：替换结点的父结点

S：替换结点的兄弟结点

SL：兄弟结点的左子结点

SR：兄弟结点的右子结点

灰色：结点颜色可能是红色，也可能是黑色

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注意：R 是即将被替换到删除结点的位置的替换结点，在删除前，它还在原来所在位置参与树的子平衡，平衡后再替换到删除结点的位置，才算删除完成。 ①场景 1：替换结点为红色我们把替换结点换到了删除结点的位置时，由于替换结点为红色，删除也了不会影响红黑树的平衡，只要把替换结点的颜色变为删除的结点的颜色即可重新平衡。

处理：替换结点颜色变为删除结点的颜色。

②场景 2：替换结点为黑色

当替换结点是黑色时，就必须进行自平衡处理了，我们可以通过区分替换结点是其父结点的左子结点还是右子结点，来做不同的旋转，使树重新平衡。

场景 2.1：替换结点是左子树场景 2.1.1：替换结点的兄弟结点为红色

若兄弟结点是红结点，那么根据红黑树性质 4，兄弟结点的父结点和子结点肯定为黑色，按照下图方式处理，得到删除场景 2.1.2.3。

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处理：

将兄弟结点变为黑色

将父结点变为红色

对父结点进行左旋，得到场景 2.1.2.3

进行场景 2.1.2.3 的处理

场景 2.1.2：替换结点的兄弟结点为黑色当兄弟结点为黑时，其父结点和子结点的具体颜色也无法确定，此时又得考虑多种子场景。

场景 2.1.2.1：替换结点的兄弟结点的右子结点为红色，左子结点任意颜色

即将删除的左子树的一个黑色结点，显然左子树的黑色结点少 1 了，然而右子结点又是红色，那么我们直接向右子树“借”个红结点来补充黑结点，并进行旋转处理。

如图所示：

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处理：

将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色

将父结点变为黑色

将兄弟结点的右子结点变为黑色

对父结点进行左旋

场景 2.1.2.2：替换结点的兄弟结点的右子结点为黑色，左子结点为红色兄弟结点所在的子树有红结点，又可以向兄弟子树“借”个红结点过来，这就转换回了场景 2.1.2.1。

如图所示：

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处理：

将兄弟结点变为红色

将兄弟结点的左子结点变为黑色

对兄弟结点进行右旋，得到场景 2.1.2.1

进行场景 2.1.2.1 的处理

场景 2.1.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色

兄弟子树没有红结点可以“借”了，再向父结点“借”。如果父结点是黑色，为了让父结点在所在的子树中保证平衡（替换结点即将删除，少了一个黑色结点，子树也需要少一个）先把兄弟结点变为红色，再让父结点成为新的替换结点。

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处理：

如果父结点为黑色：将兄弟结点变为红色；将父结点作为新的替换结点；重新进行删除结点的场景处理。

如果父结点为红色：替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换；删除结点和替换结点的值交换后，删除替换结点。

场景 2.2：替换结点是右子树

实际上是场景 2.1 的镜像操作。

场景 2.2.1：替换结点的兄弟结点为红色

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处理：

将兄弟结点变为黑色

将父结点变为红色

对父结点进行右旋，得到场景 2.2.2.3

进行场景 2.2.2.3 的处理

场景 2.2.2：替换结点的兄弟结点为黑色场景 2.2.2.1：替换结点的兄弟结点的左子结点为红色，右子结点任意颜色

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处理：

将兄弟结点的颜色变为父结点的颜色

将父结点变为黑色

将兄弟结点的左子结点变为黑色

对父结点进行右旋

场景 2.2.2.2：替换结点的兄弟结点的左子结点为黑色，右子结点为红色

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处理：

将兄弟结点变为红色

将兄弟结点的右子结点设为黑色

对兄弟结点进行左旋，得到场景 2.2.2.1

进行场景 2.2.2.1 的处理

场景 2.2.2.3：替换结点的兄弟结点的子结点都为黑色

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处理：

如果父结点为黑色：将兄弟结点变为红色；将父结点作为新的替换结点；重新进行删除结点的场景处理。

如果父结点为红色：替换结点的父结点和替换结点的兄弟结点颜色交换；删除结点和替换结点的值交换后，删除替换结点。

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