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S曲线的基本变换计算

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摘要: 本节介绍S曲线的基本变换,将基本形式的S曲线变换成为任意过两点的S曲线,为后续步进电机S曲线运动提供理论支撑

一.计算目标

①计算经过任意不同两点的S曲线方程

②可调节曲线平滑度

③可调节曲线对称度

④绘制其图像

二.计算过程

2.1 S曲线基本形式

步进电机

步进电机

2.2 S曲线变换

第一步: 进行X轴比例变换,比例系数为N(N≠0)

步进电机

变换后S曲线方程为:

步进电机

第二步: 进行X轴平移变换,平移系数为A

步进电机

变换后S曲线方程为:

步进电机

第三步: 进行Y轴比例变换,比例系数为K(K≠0)

步进电机

变换后S曲线方程为:

步进电机

第四步: 进行Y轴平移变换,平移系数为B

步进电机

变换后S曲线方程为:

步进电机

最终得到S曲线变换之后函数关系式:

步进电机

其中:

N-X轴方向比例变换系数

K-Y轴方向比例变换系数

A-X轴方向平移系数

B-Y轴方向平移系数

2.3 参数计算

要求变换之后的S曲线经过P1(X1,Y1),P2(X2,Y2)两点,可建立方程

步进电机

步进电机

方程有N,K,A,B四个未知数,需要给定2个参数由用户设定,此处选择N,A,则可求得K,B值为:

步进电机

其中N值作为X轴方向比例变换系数,N>1时,S曲线X方向放大,N<1时,S曲线X方向缩小,可以将N值等效为S曲线的平滑度调节参数

其中A值X轴方向平移系数,A>0时,S曲线向X正方向平移,A<0时,S曲线向X负方向平移,可以将A值等效为S曲线的对称度调节参数

2.4中心对称条件

当随意给定N,A值时,S曲线容易出现失真,如下图所示

步进电机

为确保经过P1,P2两点的S曲线也为中心对称,则要求S曲线经过P1P2连线的中点P0(X0,Y0),如图所示

步进电机

则可建立三个等式

步进电机

N由用户设定,可求得A值

步进电机

三.总结

通过上述计算,完成了目标中的4点要求。在不同的应用场景中,可以根据实际情况去对该S曲线进行灵活处理。S曲线代表的v-t图像中对其进行求导可以求得a-t关系。

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