基于特征解的有限弹性板中声表面波的二维分析

基于特征解的有限弹性板中声表面波的二维分析
通常认为声表面波(Rayleigh 波)在无限大弹性板中具有不同的振动模态.
确切地说, 在板中具有代表对称和反对称模态的并以指数形式衰减和增长的成对
模态出现. 随着板的厚度的增加, 这些成对出现的模态在叠加后将接近半无限弹
性体中的表面波模态, 当然也具有表面波的变形和速度特征, 但在弹性板的表面
却有着较大的变形. 将有限弹性体表面波的二维理论加以扩展, 在展开函数中除
了熟知的指数衰减项外还考虑了指数增长项, 从而建立了有限弹性板中表面波分
析的二维理论. 利用这些新的方程, 研究了不同厚度弹性板中表面波指数衰减和
增长型模态的 耦合. 发现对于厚度较小的弹性板, 这两组模态是强耦合的, 在分
析中予以全部考虑也就显得非常重要. 当弹性板的厚度增加到一定程度, 如大于
5 个波长时, 只用厚度衰减模态就可以分析表面波的振动模态, 从而可以极大地
简化弹性板中表面波分析的二维方程组.
关键词 表面波 Rayleigh 波 波传播 弹性板 波速 振动 谐振器
声表面波广泛应用于各种 电子器件, 其分析方法都是基于半无限大弹性固体中的表面波
(Rayleigh)理论[1~5]. 在工程领域, 表面波分析的基础也是半无限大固体的经典解, 这已经成为器件和其他应用方面的典型物理模型[6~15]. 当然, Rayleigh波常常只集中在固体的表面传播,当深度超过大概3 个波长以上, 固体中几乎没有扰动. 这也表明了把实际结构作为半无限大体处理的正确性. 在大多数情形下, 这样的近似是可以接受的. 在声表面波谐振器设计中, 常常
需要波速和衰减指数, 以确定谐振器的性能. 显然, 精确分析上述 参数至关重要, 尤其是在确定谐振器设计参数, 如基板厚度等. 另一方面, 无限板中的表面波解答和半无限体中的解答具有不同的形式. 例如, 在板中通常存在对称和反对称两个模态, 并以指数形式衰减或增长[1].如同半无限大固体一样, 板中的对称或者反对称模态的位移会按指数形式变化, 在中面上达到或接近零, 但在表面, 位移却不会是零. 换言之, 以中面为界, 板的变形和半无限大体中的表面波相近, 但上下表面的位移和变形却是半无限体中所不能看到的独特特征. 对有限厚度的板, 需要强调的是在工程应用中, 表面位移不可忽略. 实际谐振器中, 光滑的下表面通需要磨粗以减少表面位移. 显然, 在器件设计中, 分析计算表面的残余位移非常重要, 这有助于减小因为表面位移所引起的能量损失.如果板的厚度增加, 位移将表现出表面波的特点, 尤其是沿厚度方向有清晰的变化. 当板中的表面波速度接近半无限体中的表面波速度时, 反对称和对称模态的合成位移将逐渐接近Rayleigh 波模态. 如果厚度趋向半无限大, 合成波速就是Rayleigh 波波速. 由于模态关于中面对称, 因此下表面的位移不会消失. 基体厚度足够大时, 中面一侧的合成位移和Rayleigh 波的位移非常接近.既然板中有对称和反对称模态, 或者指数衰减或增长型模态, 计算板的主导模态时需要两者兼顾. 将已知板中的主导模态作为基函数, 可以将有限固体中的表面波二维理论[11,12,16]推广到考虑更多的振动模态[16~19]. 含有4 个振动模态的二维理论能更准确地预测板的表面波速度和模态耦合. 二维理论的推导和有关板的理论, 如Mindlin[20], Lee[21]和Pe ach[22]等人的研究是相似的.本项研究是我们分析有限大固体中表面波研究工作的一部分, 其典型应用是在表面波谐振器的设计中[16~19]. 将无限大板中表面波的特征模态作为基函数来展开位移, 可以改进此前的二维理论, 以考虑板的厚度影响. 二维方程可以进一步用于具有复杂结构的谐振器设计, 如利用有限元法对带有电极的结构进行分析[23~25]. 本文中我们使用了与常见谐振器材料性能相近的各向同性材料, 但这些算例可以很容易的推广到各向异性材料.
表面波在弹性体中的传播特性, 一直是表面波谐振器作为电子元件(如 传感器和 滤波器等)
的主要研究问题. 表面波技术在实际应用中常常集中于两个方面, 一方面是各向异性压电频率谐振器, 另一方面是一些新的元件, 比如推力、压力、温度、角速度和角加速度传感器(它们常常以谐振器作为敏感元件). 这些元件的设计和制造往往依靠简单的原理和经验来进行, 直到最近才开始重视一些精确分析的模型和方法, 并把它们应用于高效、精确的设计和产性能的提高上. 但是, 目前我们可以使用的计算方法只有采用三维弹性方程求解, 若要应用到有限大弹性体中, 只能采用有限元方法来求得数值解. 如果遇到了一些复杂的情况, 比如镀有周期分布电极的弹性体, 计算量会大幅度增加, 数值解法也会遇到困难.
Wang等人[16~19]最近提出了表面波在有限大的弹性体中传播的二维理论, 据此可以得出
表面波在有限大弹性体中传播的精确解. 将其应用到实际 产品设计中, 能够改善目前表面波谐振器的设计方法. 本文根据无限大弹性板的三维精确理论, 研究表面波在无限大弹性板中的传播情况, 主要包括位移和速度特性; 利用所得到的位移表达式, 结合二维理论, 可以计算出有限大板的波速随板的厚度和长度变化的情况. 本文的模型和方法, 可以为表面波传感器和滤波器等的设计提供参考依据.