开槽波导3次谐波回旋行波放大管非线性理论与数值模拟

图1　中空外开槽波导及电子注横截面示意图.虚圆为电子注横截面示意图

　　在Ⅰ区(0＜r＜a)中

　(1)
　(2)
Ez=0　(3)

在Ⅱ区(a＜r＜b)中

Ez=0　(4)
Er=0　(5)

　(6)

其中

　(7)
B0=［-J′0(kcb)/Y′0(kcb)］A0　(8)

　　在以上各式中，E0为高频场振幅，Γ为角向谐波数，ΑΓ为角向Γ次谐波项的振幅系数，kc为截止波数，q为开槽序数(q=1,2,…,N)，m代表高频场的角向模式(m=0,1,2,…,N-1).AΓ的值以及电路的色散关系可由电磁场在r=a处的边界条件确定.

　(9)

色散关系为

　(10)

　　式(9)表明，只有当空间谐波次数Γ=m+lN时，非零空间谐波项才存在.角向模式决定相邻隙间高频场的相位差，对于每一具体模式，此相位差值为m2π/N.每一角向模式均由无数个角向谐波项组成，其谐波振幅系数由式(9)决定.在所有角向模式中有两个比较重要的模式，即π模式和2π模式，其角向谐波相对强弱分布情况见图2.由图2可知，2π模式的能量主要集中于零次谐波项中，而π模式的能量主要集中于±N/2次谐波项中.因此，π模式较2π模式更适合于高次回旋谐波互作用.如果电子注回旋谐波次数(用S表示)已经设定，那么槽数N的选择应保证最强非零次角向谐波项的次数Г与回旋谐波次数S相等.如，对于π模式，槽数N应等于2S.

图2　角向谐波振幅对角向谐波数(Γ)的相对分布示意图.(a)π模式(m=N/2,N=6,θ0=15°)，(b)2π模式(m=0,N=6,θ0=15°)

　　当角向模式m和槽深(即a/b的值)确定后，截止波数kc的值可由式(10)通过数值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非线性理论
　　在热腔中，高频场沿轴向呈缓变分布状况，其对横坐标(r,φ)的分布函数与冷腔情况相同.下面给出Ⅰ区中的热腔高频电场分量(TE波)表达式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn为电场归一化系数，f(z)为一复函数，代表高频场沿Z轴的缓变分布情况.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非线性注波互作用常微分方程组.
　　从洛伦兹公式
出发［8］，可推得电子在高频场(E,B)和直流磁场(B0)作用下的运动方程.每个电子有6个运动参量方程，这里仅给出了速度分量及动量空间角3个运动参量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分别为电子的静止质量和相对论因子，φ为动量空间角，u=γv,v为电子的速度，如图1所示.
　　从有源麦克斯韦方程出发，经过一系列复杂的推导并对电流进行离散化后得到非线性注波互作用场方程为

　(18)

上式中，P为在一个高频场周期内所取的电子注批数，M为考虑电子注厚度因数而将电子注化分的圈数，N为每圈上所取的宏电子数，S为谐波次数.〈…〉表示对初始速度分布函数为g0(v⊥,vz)的速度空间进行平均.设电子注为单能电子注，速度零散主要来自于横纵向速度比值(V⊥/Vz)的零散，这里按正态分布规律来处理速度零散，即初始速度分布函数为

式中K为归一化常数,△vz为平均纵向速度零散，δ为狄拉克函数．
边界条件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)为输入高频场电场幅值.
　　方程(15)～(18)为自洽非线性注波互作用方程组.将电子注离散为NT个宏电子，则一共有6NT+2个一阶非线性微分方程，结合边界条件(19)、(20)，利用四阶龙格库塔法对注波互作用进行数值计算，计算结果在下部分内容中给出并讨论.

四、结果与讨论
　　表1给出了互作用电路参数，各图表曲线相关参数见相应图表标注.图3给出了驱动功率为20W情况下，效率与电子速度比值α的关系.图中B0、Bg分别为直流磁场和共振点磁场，ω为高频场频率，ωc为波导截止频率.由于在回旋行波管中波的能量取自于电子的横向能，又由于当α值增大，电子的横向能量以及回旋半径也随着增大，因此互作用效率也就随着α增大而增大.但当α增大到一定值后，注波互作用达到饱和，同时由于电子注回旋半径过大，电子在波导壁上产生截获，这样互作用效率又随α值增大而减小.

表1　数值模拟参数与结果

图3　效率与电子注速度比值α的关系(s=3,πmode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=1.032，
　　　B0/Bg=0.99)

　　图4所示为饱和效率、饱和增益与B0/Bg值之间的关系，虚线为饱和增益曲线.图中γz为纵向速度分量的相对论因子.图示表明，一方面，降低B0/Bg值，有助于提高饱和互作用效率，但B0/Bg值不能太低，否则失谐加重，注波互作用难以达到同步，饱和效率便会迅速降低；另一方面，增加B0/Bg的值却有利于提高饱和增益.总的来说，磁场失谐率的选择应在效率和增益之间作优化折衷.

图4　饱和效率及增益与B0/Bg值的关系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=γz,
　　　α=1.3)

　　图5所示电流分别为3A、6A和9A情况下(a)饱和效率、(b)饱和增益随频率变化的关系.可以看出饱和效率、饱和增益以及饱和带宽都随电流的增长而有所增加.在6A和图示情况下，饱和带宽为7%，电流为3A增大到9A时，饱和带宽从4.6%增大到8.3%.

图5　不同电流下，(a)饱和效率(b)饱和增益随频率变化的关系(s=3,π mode,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99)

　　图6所示为几个不同磁场失谐率下饱和增益以及饱和效率随频率变化的关系.由图可见，磁场失谐率对饱和增益、饱和效率及饱和带宽都有较大影响，B0/Bg值的提高有利于饱和增益及饱和带宽的提高，但饱和效率却有所降低.在图示条件下，当B0/Bg值从0.983增大到0.998时，饱和带宽从4.8%增大到9.3%.

图6　不同磁场失谐率下，(a)饱和增益及(b)饱和效率随频率变化的关系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3)

　　图7为在不同磁场失谐率下饱和效率随谐波次数的变化关系.由图表明，饱和效率随谐波次数的增大而降低，B0/Bg值越低，谐波次数对饱和效率的影响越大.

图7　饱和效率随谐波次数的变化关系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

　　图8所示为不同谐波次数下饱和效率随频率的变化关系.图示表明谐波次数对饱和带宽有较大影响.在图示条件下，谐波次数从2增大到4时，饱和带宽从10.3%减小到5.7%.

图8　不同谐波次数下饱和效率随频率的变化关系(π mode,I=6A,V=60kV,α=1.3,B0/Bg=0.99,ω/ωc=γz,rL/a=0.7)

五、结束语
　　本文在单模和未考虑空间电荷效应及波导壁损耗的情况下，对95GHz3次谐波回旋行波管注波互作用进行了数值计算，得出了一些重要的互作用规律.研究结果表明，开槽波导高次谐波回旋行波管能在较低的磁场下和较宽的频带范围内，获得较高的互作用效应.高次谐波互作用降低了管子对磁场的要求，使采用永久磁铁成为可能，但谐波次数的增高会削弱注波互作用效率和带宽.由于在π模式中，高频场能量主要集中于高次谐波项中，而在2π模式中，能量主要集中于零次谐波项中，因此，π模式较2π模式更有利于高次谐波放大.适当降低磁场失谐率B0/Bg的值，有利于提高饱和互作用效率，但饱和增益及带宽却有所降低.适当提高横纵向速度比值(V⊥/Vz)、电流值以及输入功率，有利于带宽、增益和互作用效应的提高.另外，速度零散对注波互作用亦有较大影响，随着速度零散的增加，注波互作用效率、增益都有所降低.